Probability Lab

Das Probability Lab bietet ein anwendungsorientierte Möglichkeit, ohne in die komplexen mathematischen Hintergründe eintauchen zu müssen.





WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNG (WV)

Das erste Konzept, das es zu verstehen gilt, ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung (WV). Dabei handelt es sich im Grunde lediglich um einen fachlicheren Ausdruck dafür, dass für alle möglichen zukünftigen Ergebnisse eine bestimmte Chance bzw. Wahrscheinlichkeit besteht, dass diese eintreten. Die WV gibt uns genau an, wie hoch die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten bestimmter Ergebnisse ist. Beispiele:

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Tageshöchsttemperatur in Hongkong am 22. November nächsten Jahres zwischen 21 und 22 Grad Celsius liegen wird?

Wir können die Temperaturaufzeichnungen vom 22. November der letzten hundert Jahre hinzuziehen. Zeichnen Sie eine horizontale Linie und markieren Sie darauf eine Skala von 16 bis 30 Grad. Zählen Sie dann die Anzahl an Temperaturaufzeichnungen, die in jedes einzelne Grad-Intervalle fallen. Die Anzahl an Temperaturereignissen in jedem Intervall entspricht der prozentualen Wahrscheinlichkeit, dass die Temperatur am 22. November innerhalb dieses Intervalls liegen wird. Dies gilt unter der Annahme, dass die Zukunft sich gleich der Vergangenheit verhält. Diese Methode funktioniert, da wir 100 Aufzeichnungen verwendet haben haben. Andernfalls muss das Resultat mit Hundert multipliziert und durch die Gesamtanzahl aller verwendeten Aufzeichnungen dividiert werden, um die Prozentwerte zu erhalten. Um eine größere Genauigkeit zu erreichen, würden mehr Datenpunkte benötigt. Wir könnten zum Beispiel Daten vom 20. bis 24. November verwendet.

Wir zeichnen also eine horizontale Linie, die sich über die gesamte betrachtete Celsius-Skala erstreckt und bei jedem Grad die Höhe aufweist, die der Menge der Datenpunkte in diesem Intervall entspricht. Bei Verwendung der Aufzeichnungen für den 20. bis 24. November würden wir eine größere Datenmenge erhalten und eine höhere Genauigkeit erzielen, aber wir müssten die resultierenden Anzahlen mit 100 multiplizieren und durch 500 dividieren.

Wetter-Chart

Diese horizontalen Linien ergeben einen Graph unserer WV. Sie indizieren die jeweilige prozentuale Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die Temperatur in einem dieser Intervalle bewegen wird. Falls wir herausfinden möchten, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass die Temperatur unterhalb eines bestimmten Levels liegen wird, müssen wir alle Wahrscheinlichkeiten in dem Segment unterhalb dieser Grenze zusammenrechnen. Analog summieren wir alle Wahrscheinlichkeiten oberhalb des gewählten Levels, um die Wahrscheinlichkeit einer höheren Temperatur zu erhalten.

Folglich zeigt der Graph an, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Temperatur zwischen 21 und 22 Grad Celsius bei 15% und die Wahrscheinlichkeit für eine Temperatur unter 22 Grad Celsius bei 2 + 5 + 6 + 15 = 28% liegt. die Wahrscheinlichkeit für eine Temperatur über 22 Grad liegt bei 100 - 28 = 72%.

Bitte beachten Sie, dass die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Segmente 1.00 ergeben muss, d. h. es besteht eine Wahrscheinlichkeit von 100%, dass an diesem Datum irgendeine Temperatur in Hongkong herrschen wird.

Falls noch mehr Daten zur Verfügung stehen würden, könnten wir unsere WV weiter präzisieren, indem wir die Intervalle verkleinern. Dadurch würden die horizontalen Linien zu vielen Punkten zusammenschrumpfen eine glatte, glockenförmige Kurve ergeben.




AKTIENKURSE

Ebenso wie es möglich ist, zukünftigen Temperaturintervallen Wahrscheinlichkeiten zuzuweisen, ist dies auch für Intervalle zukünftiger Aktien-, Rohstoff- oder Währungskurse möglich. Es besteht jedoch ein wichtiger Unterschied. Während die Temperaturentwicklung Jahr für Jahr in etwa dem gleichen Muster folgt, gilt dies nicht für Aktienkurse, da diese stärker durch fundamentale Faktoren und menschliche Entscheidungen beeinflusst werden.

Die Antwort auf die Frage „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Preis von ABC am 22. November zwischen zwischen 21.00 und 22.00 liegen wird?“ ist daher, verglichen mit der Temperaturvorhersage für Hongkong, eher eine fundierte Schätzung.

Die Informationen, mit der wir arbeiten, sind der aktuelle Aktienkurs, Informationen zu dessen Bewegungen in der Vergangenheit sowie Fundamentaldaten zu den Zukunftsaussichten des Unternehmens, der Branche, der Konjunktur, der Währung, internationalen wirtschaftlichen und politischen Aspekten, usw., die die Meinung der Anleger in Bezug auf den Aktienkurs beeinflussen können.

Die Vorhersage des zukünftigen Kurses einer Aktie ist ein ungenauer Prozess. Die Vorhersage der WV zukünftiger Aktienkurse scheint mehr Raum für Flexibilität zu lassen, bzw. wir werden uns des probabilistischen Charakters dieses Prozesses deutlicher bewusst. Je mehr Informationen und Einsichten uns zur Verfügung stehen, desto besser sind die Chancen, richtig zu liegen.




OPTIONEN UND DIE IMPLIZIERTE WV VON OPTIONSPREISEN

Die Preise von Put- und Call-Optionen auf Aktien werden über die WV bestimmt. Interessant ist jedoch, dass wir diesen Prozess umkehren können. Das heißt, falls die Optionspreise gegeben sind, kann durch diese Preise implizierte WV einfach abgeleitet werden. Es ist nicht unbedingt erforderlich zu wissen, wie dies funktioniert, und Sie können den folgenden Abschnitt problemlos überspringen. Wenn es Sie jedoch interessiert, die Vorgehensweise zu verstehen, wird im Folgenden eine Methode erläutert, die für jeden Schüler der Sekundarstufe nachvollziehbar sein sollte.

Nehmen wir an, dass ein Wertpapier zu einem Kurs von $500 pro Aktie gehandelt wird. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kurs bei Fälligkeit der Option in ca. einem Monat zwischen 510 und 515 liegt? Angenommen, der 510 Call wird zu einem Kurs von $6.45 gehandelt und der 515 Call zu einem Kurs von $4.40. Sie können den 510 Call kaufen, den 515 Call verkaufen und zahlen $2.05.

  • Falls der Kurs bei Fälligkeit der Optionen unter 510 liegt, verlieren Sie $2.05
  • Falls der Kurs zwischen 510 und 515 liegt, beläuft sich Ihr Gewinn auf den Durchschnitt Ihres Verlust bei einem Kurs von 510, nämlich $2.05, und Ihres Gewinns
    bei einem Kurs von 515, nämlich $2.95, also $0.45
  • Falls der Kurs über 515 liegt, gewinnen Sie $2.95.

Weiterhin sei angenommen, dass wir zuvor berechnet haben, dass die Wahrscheinlichkeit eines Aktienkurses unter einem Wert von 510 bei 56% bzw. 0.56 liegt.*

Unter der Voraussetzung, dass die Optionen „fair“ gehandelt werden, d. h. es können keine Gewinn- oder Verlustgeschäfte gemacht werden, wenn die WV des Marktes korrekt ist, gilt 0.56 * -2.05 + X * 0.45 + Y * 2.95 = 0, wobei X für die Wahrscheinlichkeit steht, dass der Aktienkurs zwischen 510 und 515 liegen wird, und Y für die Wahrscheinlichkeit steht, dass der Aktienkurs über 515 liegen wird.

Da alle möglichen auftretenden Kurse zusammen eine Wahrscheinlichkeit von 100% haben, ergibt sich 0.56 + X + Y = 1.00; somit ist X= 0.06 und Y = 0.38.

*Um die gesamte WV zu berechnen, müssen Sie beim niedrigsten Ausübungspreis beginnen und für die Wahrscheinlichkeit eines darunterliegenden Kurses eine Schätzung vornehmen. Dies wird eine kleine Anzahl sein, sodass Sie keinen allzu gravierenden Fehler machen werden.

Wenn Sie bis hierher gelesen haben, interessant es Sie wahrscheinlich auch, wie Sie den Preis einer Call- oder Put-Option von der WV ableiten können.

Für einen Call können Sie den mittleren Aktienkurs jedes Segments oberhalb des Ausübungspreises nehmen, den Ausübungspreis davon abziehen und das Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit multiplizieren, dass ein Kurs in diesem Segment eintritt. Für das Ende müssen Sie eine geringe Wahrscheinlichkeit schätzen und einen Preis verwenden, der etwa 20% über dem oberen Ausübungspreis liegt. Die Summe aller Ergebnisse ergibt den Call-Preis.

Für Puts nehmen Sie den mittleren Aktienpreis jedes Segments unterhalb des Ausübungspreises, subtrahieren diesen vom Ausübungspreis und multiplizieren das Resultat mit der Wahrscheinlichkeit. Für das letzte Segment zwischen 0 und dem tiefsten Ausübungspreis würde ich 2/3 des tiefsten Ausübungspreises nehmen und die Wahrscheinlichkeit erraten. Addieren Sie wiederum alle Ergebnisse, um den Preis des Puts zu erhalten.

Manche mögen die Meinung vertreten, dass all dies ziemlich unsaubere Schätzungen sind. Und die Antwort lautet: Ja, dies liegt in der Natur von Kursvorhersagen - sie sind ungenau. Etwas anderes zu behaupten, wäre unsinnig. Alle schätzen. Niemand weiß etwas definitives. Für Laien erscheint es so, als würden Computer-Nerds mit komplexem Modellen hochpräzise Berechnungen anstellen. Doch die Wahrheit ist schlicht und ergreifend, dass niemand die Wahrscheinlichkeiten kennt, und Ihre begründete Schätzung auf Basis Ihres Verständnisses der Situation mitunter besser sein kann als die der Computerexperten auf Basis von Entwicklungen in der Vergangenheit.

Bitte beachten Sie, dass wir in dieser Erläuterung nicht auf Zinseffekte eingehen. Gleichen auch den Umstand aus, dass Optionen vorzeitig ausgeübt werden können, wodurch sie wertvoller werden. Bei der Berechnung der Gesamt-WV muss dieser zusätzliche Wert berücksichtigt werden. Dies ist jedoch nur für tief im Geld stehende Optionen erheblich. Durch die Verwendung von Calls zur Berechnung der WV von hohen Kursen und Puts zur Berechnung der WV von niedrigen Kursen können Sie dieses Problem umgehen.




DURCH DEN MARKT UND IHRE MEINUNG IMPLIZIERTE WV

Angesichts der Tatsache, dass Puts und Calls zu den meisten Aktien an den Optionsmärkten gehandelt werden, lässt sich die WV für diese Aktien als durch die vorherrschenden Optionspreise impliziert berechnen. Ich nenne dies die „WV des Marktes“, da sie aus dem Konsens der Optionskäufer und -verkäufer resultiert, selbst wenn sich viele der Auswirkungen nicht bewusst sind.

Der höchste Punkt des Graphen der durch den Markt implizierten WV liegt nahe dem momentanen Aktienkurs zzgl. Zinsen abzl. Dividenden. Je weiter Sie sich von diesem Punkt nach rechts oder links bewegen, desto mehr verringern sich die Wahrscheinlichkeiten - zunächst langsam, dann schneller und schließlich wieder langsamer, wobei der Wert 0 jedoch nie ganz erreicht wird. Der Forward-Kurs ist der erwartete Kurs bei Verfall, der durch die WV impliziert wird.

Options Probability Lab

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Die Kurve ist nahezu symmetrisch, mit Ausnahme der Tatsache, dass etwas höhere Preise eine höhere Wahrscheinlichkeit aufweisen als etwas geringere Preise und deutlich höhere Kurse eine geringere Wahrscheinlichkeit haben als Preise, die nahe 0 liegen. Die Ursache hierfür ist, dass Preise tendenziell schneller fallen als steigen und dass bei allen Unternehmen eine gewissen Wahrscheinlichkeit besteht, dass ein katastrophales Ereignis eintritt.

Im Probability Lab können Sie sich die WV anzeigen lassen, die wir mittels der momentan am Markt vorherrschenden Optionspreise zu Aktien oder Rohstoffen ermitteln, für die Optionen angeboten werden. Sie müssen lediglich das entsprechende Symbol eingeben.

Die WV-Kurve verändert sich entsprechend der Veränderungen des Geld- und Briefkurses der Option an der Börse. Nun können Sie den horizontalen Balken jedes Intervalls greifen und nach oben oder unten verschieben, wenn Ihnen die Wahrscheinlichkeit, dass der Preis dieses Intervalls eintritt, geringer oder höher erscheint als die durch den Marktkonsens implizierte. Sie werden feststellen, dass sich alle anderen Balken mit bewegen, wenn Sie einen der Balken verschieben, wobei sich weiter entfernte Balken in die entgegengesetzte Richtung bewegen, da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1.00 ergeben muss. Bitte beachten Sie ebenfalls, dass die WV des Marktes weiterhin in blau angezeigt wird, während Ihre Prognose in Rot dargestellt wird. Bei Klick auf die Schaltfläche „Reset“ (Zurücksetzen) werden Ihre sämtlichen Veränderungen aufgehoben.

Der Markt tendiert zur Annahme, dass alle WVs nahe dem statistischen Durchschnitt vergangener Resultate liegen, es sei denn es steht eine definitive Kapitalmaßnahme, wie z. B. eine Fusion oder Übernahme an. Wenn Sie den Markt oder die Besonderheiten bestimmter Aktien, Branchen oder Rohstoffe beobachten, werden Sie diese Ansicht möglicherweise nicht teilen. Gelegentlich werden Sie zu einer anderen Einschätzung der Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse und folglich bestimmter Kursentwicklungen kommen. Dieses Tool gibt Ihnen die Möglichkeit, diese persönlichen Einschätzungen graphisch darzustellen und zu veranschaulichen und auf Basis dieser Einschätzungen Transaktionen auszuführen. Falls Ihre Einschätzung der Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht von der WV des Marktes abweicht, sollten Sie keine Transaktion ausführen, da jede auf Basis der WV des Marktes ausgeführte Transaktion einen erwarteten Gewinn von Null (abzgl. Transaktionskosten) aufweist. Die Summe aller möglichen Resultate (Gewinn oder Verlust in jedem Intervall) multipliziert mit der dazugehörigen Wahrscheinlichkeit entspricht dem statistisch erwarteten Gewinn. Unter der WV des Marktes ist dieser Wert für jede Transaktion gleich Null. Sie können jede konkrete Transaktion als Beispiel nehmen und den erwarteten Gewinn selbst berechnen, um sich von der Richtigkeit dieser Aussage zu überzeugen. Jedes Mal, wenn Sie eine Transaktion mit einem erwarteten Gewinn abschließen, gehen Sie also im Grunde eine Wette ein, dass die WV des Marktes falsch und Ihre Einschätzung korrekt ist. Diese Tatsache entspricht der Wahrheit, unabhängig davon ob Sie sich dieses Umstandes bewusst sind oder nicht. Es ist daher durchaus lohnend, sich diese Tatsache ins Bewusstsein zu rufen und die eigenen Fähigkeiten mit Hilfe dieses Tools zu trainieren.




DIE BESTEN TRANSAKTIONEN UND IHRE MÖGLICHEN KONSEQUENZEN

Bitte nutzen Sie die Gelegenheit und verschieben Sie die Balken im Diagramm, um mit der Anpassung der WV vertraut zu machen. Wir zeigen Ihnen Kombinationstransaktionen an, die auf Basis der von Ihnen festgelegten WV wahrscheinlich zu einem positiven Ergebnisführen werden. Sie können entscheiden, ob Sie die „optimalen Transaktionen“ angezeigt bekommen möchten, die aus Kombinationen von bis zu zwei, drei oder vier Optionskomponenten bestehen. Wir zeigen Ihnen die drei besten Kombinationstransaktionen an, zusammen mit dem jeweiligen erwarteten Gewinn, der Sharpe Ratio, Nettobelastung oder Nettogutschrift, der prozentualen Wahrscheinlichkeit des Gewinns, dem maximalen Gewinn und maximalen Verlust und verbundenen Wahrscheinlichkeiten für jede Transaktion auf Basis Ihrer WV und der anwendbaren Margin-Anforderungen.

Die besten Transaktionen sind die mit dem höchsten Sharpe Ratio, oder dem höchsten Ratio vom erwarteten Gewinn zur Variabilität des Ergebnisses. Bitte bedenken Sie, dass der erwartete Gewinn per Definition der Summe des Gewinns oder Verlusts multipliziert mit der verbundenen Wahrscheinlichkeit entspricht, die Sie für alle möglichen Preise festgelegt haben. In dem unteren Graphen sehen Sie den prognostizierten Gewinn oder Verlust, der aus der Transaktion resultieren würde, und die entsprechende Wahrscheinlichkeit zu jedem einzelnen Preispunkt.

Der unten abgebildete, interaktive Graph ist eine grobe Simulation des Probability Labs, einer Echtzeit-basierten Anwendung, die wir unseren Kunden bereitstellen. Ebenso werden die „besten Transaktionen“ ausschließlich zu Veranschaulichungszwecken angezeigt. Anders als in der tatsächlichen Anwendung, sind diese nicht für Ihre spezielle Verteilung optimiert.

Falls Ihnen eine Transaktion in unserer Software gefällt, können Sie die Menge erhöhen und die Order übermitteln.




Probability Lab kostenlos für Nicht-Kunden

In den folgenden Versionen dieses Tools werden wir Buy-Writes, Delta-Neuausrichtungen, kombinierte Transaktionen mit mehreren Fälligkeiten, Verlängerungen fällig werdender Positionen und weitere Detailverbesserungen des Probability Labs vornehmen.

Bitte probieren Sie die Funktionen dieses interaktiven Tools in Ruhe aus. Ihr Verständnis der Optionspreisbildung wird sich im Zuge dessen vertiefen und Sie gewinnen ein besseres „Gefühl für den Optionsmarkt“.